ペーパークラフトの数学-1

息子が昔からペーパークラフトに凝っている。高校2年になった今でも作り続けていてずいぶん大きなものを山のように作っている。

ペーパークラフトは

1. 作りたい形状を考える
2. それをモデリングする
3. 部分に分解して平面に型紙として展開する
4. 組み立てて立体にする
5. さらに、彩色などをする

と言う作業を行う。2〜3の部分を行うソフトウェアも存在する（ペパクラデザイナー、Lamina Designなど）。

これらのソフトウェアの多くはOpenGLのように立体をポリゴン（あるいは三角形）で近似して、それを平面に展開する、と言う手法をとっている。これは、いわば力づくで型紙に展開する手法である。そうではなく紙の柔軟性を十分に利用し、緩やかに曲げた面とシャープな折りとで構成するにはどうするか、ということを考えたい。数学的には微分幾何の問題と見て、数値計算になるべく頼らず、可能な限り解析的なアプローチをとりたい。そして最終的にはこの手法を具体的に構成したいと思う。

立体表面の平面展開

立体表面を平面に展開するにはもとの表面の形状がいわゆる可展面でなければならない。可展面とは面上のすべての点でGauss曲率が0の面である。具体的には

• 任意の点を通って面内に含まれる直線を描くことができる（線織面と呼ばれる）
• その点での最大曲率の方向がその直線に垂直な方向である

を満たす面である。

このような面にはたとえば

1. 平面（あたりまえ）
2. 柱面
1. 円筒面
2. 楕円筒面
3. 一般の柱面
3. 錐面
1. 直円錐面
2. 楕円錐面（断面が楕円の円錐）
3. 斜楕円錐面（軸が傾いてる）
4. 一般の錐面
4. 接線曲面（曲線の接線の包絡曲面）

などがある。軸が傾いた円錐面は、座標変換を行って軸を起こせば楕円率の異なる楕円錐面と同じであるが、場合によっては軸が傾いていると考えた方が簡単になる（式の表現が簡単になる）ので、ここでは別物としておく。また「一般の柱面」や「一般の錐面」というのは断面が自由な形状の、ただし自己交差の無い閉曲線になっているものである。

可展面の具体的な形を示す。

接線曲面とは、たとえば蚊取り線香の形を紙で切り取り、中央を持ち上げたような形である。

逆にたとえば回転双曲面は条件の最初の項目を満足するが後者を満足しないので展開できない。また、ねじれの面も同じで可展面ではない。
可展面ではない形を示す。

ねじれの面の例は一見、接線曲面の例とよく似ているが平面に展開できない。
ペーパークラフトに一般の接線曲面を応用することはまれであると考え（立体表面の一部として一般の接線曲面を使うことと言えば、蚊取り線香の真ん中を持ち上げた形しか想像できない）、ここでは接線曲面を除いた、柱面と錐面の平面展開に集中する。
ペーパークラフトはこれらの可展面の組み合わせで、立体表面を近似的に表現する技術である。先ほどあげたソフトウェアは可展面の中から平面だけを用いて立体表面を近似する作業を自動化する。

このあとは、立体表面の境界の形状とそれを平面に展開するとどうなるか、を簡単なものから順に考えることにする。

可展面の境界形状

無限に広がるただ一つの可展面だけを扱うのではない場合、必ず境界がある。境界は空間曲線となる。
また、二つの可展面を接合するとき、それぞれの境界は空間曲線として一致していなければならない。これはその二つの可展面の交線を求めればいいが、その交線がもとの可展面を展開したとき、どのような平面曲線になるかを決めなければならない。これは一般には簡単ではない。

まず、解析的に解ける例からはじめ、その後、数値計算により決定可能な例を示す。
解析的に解ける例として

1. 円筒面と平面の境界
2. 円錐面とその軸に垂直な平面との境界

などがある。

円筒面の平面による境界

円筒面の、その軸に垂直な平面によって切り取られた境界は円になる。その半径は円筒面の半径に等しいことはすぐにわかる。

その展開は直線となり、その長さは円筒面の円周に等しい。
従って軸に垂直な二つの面で切り取られた円筒面の展開図は長方形となる。その高さは二つの平面の距離であり、幅は円筒面の円周、すなわち円筒面の半径をrとして2πrである。

また、切り取る平面側の境界形状は半径rの円となる。
以上を式で書いてみる。
3次元空間(x,y,z)での円筒面の式を

と書く。これは軸がz軸に一致した半径rの円筒面になる。これをx-y平面に平行でz=z0を通る平面の交線を求めると

を連立して解けば良い。これは解くまでもなくz=z_0の平面上に描かれた半径rの円である。

軸に垂直ではない平面

軸に垂直ではない平面で交差する円筒面の境界は楕円になる。

しかし、LaTeXを手動でHTMLにするのは大変。ああ、しんど。続きはまた今度。忘れそう。

コメント 8

　趣味で切り折り紙なる遊びをやっている川合工房と申します。本業は理系と文系の中間あたりの仕事をやっています。この文章、可展面を理解する上で大変に参考になりました（ありがとうございました)。接線曲面についての拙文にこの記事の一部と図を引用させていただきました。ご許可くださるようお願いいたします。
　

　
by 川合工房 (2009-03-15 23:24) 

コメントありがとうございます。引用は問題ありません。絵はMathematicaで描いたそのままなので、むしろこのようなものを紹介していただいてうれしく思います。ありがとうございます。
サイト拝見しました。紙のマチエールを生かした造形が美しくて、単なる数学とは全く違う次元を感じますが、残念ながら僕にはそのセンスがありません。
僕はいかにも自動生成したような多面体近似ではなく、シャープな折りと柔らかい曲げを組み合わせた造形を目指そうと思って数学を始めたのですが、具体的な形状生成まで行き着かずにいました。本物の紙の美しさを見せていただいたので、もう少しがんばってみたいと思います。

by decafish (2009-03-16 22:09) 

よろしくおねがいします。
by 松戸 ネイルサロン (2009-12-01 14:11) 

此処数日　（斜）垂面の代数曲面　f[X,Y,Z]=0 (f[X,Y,Z]∈R[X,Y,Z]) 表示　を目論見　飯高先生の　
http://9010.teacup.com/1942may/bbs
に　投稿を続けているHN ★　なる　者　です（遡及すれば殆ど至る処　★=私　です）
（他の　箇所　にも　投稿しております）

3.斜楕円錐面（軸が傾いてる）に　邂逅し　　足跡を残します。

http://9010.teacup.com/1942may/bbs
の　★の投稿をご笑覧いただき、　　其処に,助言いただければ　幸甚です。

（代数曲線　曲面 .....の　双対曲線　双対曲面　...に　関心を抱き、具現中です）



by ★ (2011-10-27 23:29) 

その一部　です；

★ 投稿日：2011年10月26日(水)19時04分39秒 編集済
　　　　　以下　母（母線）に　ついて　記述しました；
http://www.amazon.co.jp/Complex-Analysis-L-Ahlfors/dp/0070850089（の19pも 無論　視つつ)
　　　　　　　　　　　　　本日　9:30
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&rlz=1T4TSJH_jaJP367JP367&q=%E5%B0%BF%E6%A4%9C%E6%9F%BB&um=1&ie=UTF-8&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&biw=1093&bih=381
　を　し,異常が認められなかった。★採尿コップを　観ながら　考えた★；
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/001/131961733654913206455.gif
　　紫囲みの　◆錐面の定義◆　は　誰でも　為し
R^3に　如何なる　曲線　と　点　が　与えられても誰でも　具現　叶う。
　　特に　採尿コップ　や　ice cream cone 　の　代数曲面表示は　容易。
> 食べられる円錐形の受け皿は、アイスクリームコーン（ice cream cone）あるいは単にコーンという

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/001/131961733654913206455.gif
の　左上の　青線は　赤の円=赤道　外　の　易しい　円;(X - 1)^2 + (Y - 1)^2 = (1/5)^2 である。
　　（　円;(X - 1)^2 + (Y - 1)^2 = (1/5)^2　を　楕円にかえ以下の考察をも願います　）

(1)この円　と　N=(0,0,1)から　◆錐面の定義◆　に　従い、その　代数曲面表示　を為して下さい。

◆錐面◆　は　容易に　誰でも　描けるが　その　代数曲面の方程式を提示されたことが御座いますか？
『経験者は語る！』 『未経験者は語りたく　我慢できず　スグ　開始！』 （何方様もシカトし難く　必ず）
具現される　;代数曲面 S；__________________________________=0

(2) そして　其れS と　易しい　球面;x^2+y^2+z^2=1^2 の　交線　S∩球面　も求めて下さい。
(3) そして交線　S∩球面を x,y平面に正射影して　無論　n=2次曲線が　赤の円外でなく円内　に
　　得られるでしょうが　キチンと求め、主軸　問題をも　解き、囲む面積,弧長　を　求めて　下さい。
(4) その2次曲線や　代数曲面S の　双対曲線、双対曲面　を　求めて下さい。
　　　　　此処まで記し
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/series/21seiki/01570-3.html
等の　著者の　飯高先生の2011年10月26日(水)12時06分44秒の記事に遭遇しました。
私が上に　提示した双対曲面をふくむ問達 は 赤子の手を捻る ように　容易だと　云われそうな　先生が...
> 赤子の手を捻る　は、日本に昔から伝わることわざの一つです。
　>赤ん坊の手を捻る事は（シマセン!!)、非常に簡単なように、造作ない、簡単な事の意味です。
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数学教育法 投稿者：iitaka 投稿日：2011年10月26日(水)12時06分44秒
今朝４回目の講義
中学数学で
y=ax+bが直線を表すこと
をしました。
ｙ＝２ｘ＋５
をもとにいくつかの点で代入して直線らしい
と思わせて一般の場合も
直線になるというのは
数学としては、乱暴である
本当は、三角形の比例や相似で
できるんだ
と話したら、Ｓ大学の学生は
大変感心してくれました
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◆錐面の定義◆　に　従い、特に　易しい　円　と　点(0,0,1) で　錐面の　代数曲面表示を
　　私も試みたところ；無論　2次　曲面　S で　次のように　なりました（一部隠匿します;)
　　-25*X^2 - 50*Z*X + 隠匿*X - 25*Y^2 - 49*Z^2 + 50*Y - 50*Y*Z + 98*Z - 49=0

http://www.kyoritsu-pub.co.jp/series/21seiki/01570-3.html
　　　　には　無数の代数曲線　Cj が在ります.
(が　代数曲線と云いながら　パラメタ-表示に止め、代数曲線表示が為されていないので　為す　愉しみが　在ります）
幾つかの　Cj を　選び 代数曲線表示をなし　その各曲線Cj と点(0,0,1) で　錐面をつくり
　　　　◆錐面の　代数曲面表示を　必ず　為して下さい◆

　　直線 　ｙ＝２ｘ＋５ と　と点(0,0,1) で　錐面をつくり
◆錐面の　代数曲面表示　は　容易すぎても　為して下さい◆

　　　　上で具現された　 各　で
　　　実際　代数曲面に　載っている空間の　直線をそれぞれ　10本程度は
　　　　　　　　　媒介変数表示をしてください。
（先ず　直線の　厳密な　定義　を　と　なんて　云いません）

以上; 具体的な個々の函数の面白い性質や挙動を偏愛する(難波誠)
　　　　　具体的な個々の事例を偏愛する　　 に　倣いました。

採尿コップ　や　ice cream cone が　　代数曲面表示　學習　を　為さしめました。

視る度に　 　R^3 の　無数の代数曲線　と　指定した点から　◆無数の,錐面の　代数曲面表示達◆
　　を為し 代数曲面の　學習　を　死ぬまで　続行　せずには　イラレナイ　でしょう；
http://www.youtube.com/watch?v=HyxoMl7rcc4

数学教育法 で　iitaka　先生　には　y=ax+bではなく,上の如き　錐面や(双対曲面）に関する　講義 を　是非願いたい!
Ｓ大学の学生は 上の問達を　本当に解き　飯高先生が　感心なさるに　違いない....


by ★ (2011-10-27 23:33) 

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/001/132005425791013206641.gif
なる　院試　の　問題で　求めた　F[X,Y.Z]∈Q[X,Y.Z] で定まる と云う　代数曲面　S　の　
(1)　　　　双対曲面 S^*　と　
　　S を　例えば　(2,3,5)だけ 平行移動 Tした T(S) の　双対曲面　も　求め　その名称を云うて　下さい。
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/001/131779844704613121599.gif
　　の　場合は　曲線とその双対曲線の　名称が　「ガラッと変わった」
(2)このように　或る　平行移動　T した　　T(S)の　双対曲面 T(S)^*　の
　　　名称が　かわることが在れば明記してください。
(3) 院試の問題で　t∈R と　あるが　制限し;　t∈[-3,3] ,上の　開口部分から半径 Sqrt[36/25]　の　鉄球を
　　 挿入すると　右下　の　図の　位置　で　止まった。
その　鉄球とSとの交線は高校生も容易に求めますが　お願い　します。
(4）今度は　比較にならぬ程　大きい　半径 3 の　鉄球S3 　　を　S の　右下から　Sに　ぶっつけたら
　　　赤囲みの　図の位置に　 「埋まり込んで!」止まった!!。（埋まり込んでいる様子の図示達を試みた）
埋まり込んでいる部分の体積は? なんて　好きな問　ではありませんが...
埋まり込んでいる部分の表面積は? なんて　猶更　好きな問　ではありませんが...

　S3 と　S　交線　 S3∩S は 高校生には　容易では　ありませんが　空間の　何次曲線　ですか?

【完全交差多様体の定義】を述べ,S3∩S が　そうなら証明して下さい。

(5) S3∩Sをx,y平面に正射影 prj した　R^2 内の代数曲線prj(S3∩S)　の　方程式を　求め,
その　双対曲線 prj(S3∩S)^*　も　 必ず　求め(12次ですか?),　その特異点を　求め
(尖点　や　二重点が在りますか?),　想定の　範囲内の　特異点　であることを
対応する　元の曲線の特徴から　認知願います。
prj(S3∩S)は勾玉（曲玉とも表記）のような...曲線です。
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/001/132007116894013120709_index_gr_1_20111031232608.gif
prj(S3∩S) には　二重接線がありそうです。　多様な発想で求めて下さい。
prj(S3∩S) には　変曲点がありそうです。　多様な発想で求めて下さい。
http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/book/8124586.html
　　　　　　　に述べられている発想をも。
此処に　M.リード著 ; 若林功訳, 岩波書店
高校生のための代数幾何 永田雅宜著
代数幾何は連立方程式の解の集合の幾何学的性質を調べる学問です。本書の内容は、代数幾何の本格的勉強に適することよりも、高校生の知識で、代数幾何についての理解の糸口をつかむことを目標にして選びました。
代数曲線の幾何学　　難波誠著　　がっ!!!!!；
5 華麗な二次曲線の射影幾何　と　ありますが　華麗でないのでしょうか? 三次以上の代数曲線,　面, ...は.
http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/book/7835771.html
>具体的関数への熱き想いを君に伝えたい――これがこの本をバレー劇になぞらえたおもな理由である。
>「具体的な個々の関数の面白い性質や挙動を偏愛する」...複素関数 三幕劇 らしい.
の　著者 だっ!!! (何れも　所蔵して　いない..)

http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold
>Figure 1: The four charts each map part of the circle to an open interval, and together cover the whole circle
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93#.E5.BE.AE.E5.88.86.E5.8F.AF.E8.83.BD.E5.A4.9A.E6.A7.98.E4.BD.93　の
> 単位円は次の 4 つの開近傍で覆うことができる。 なる模範解答　例　を　視て,
(6) 院試 の　f([-π,π)×R) ⊂ R^3 の　二次元部分多様体　の　証明　は
　　　　 　どのような　解答を　要求していると　お考えですか?


by NO NAME (2011-11-01 00:30) 

息子さんがペーパークラフトをされているとのこと。応援してあげてください。
私も、父が買ってくれなかったプラモデルの代わりに好きなサンダーバードを何とか作ろう、とごそごそ工夫したのがペーパークラフトのきっかけでした。自作のソフトウェアを作って、３月に「紙の器　暮らしを彩る楽しい形」という本を出版致しました。ふんわりとした膨らみを持ったパッケージの型紙集です。三谷先生は「これをきれいに作れるのは１０人に一人」とおっしゃいました。もし気が向けばチャンレンジしていただきたいと思います。
by 吉川　信治 (2014-11-02 14:43) 

コメントありがとうございます。
ご紹介いただいた本は、まだ手に取っていないのですが、Amazonの「なか見検索」で拝見しました。
ペーパークラフトで丸みを帯びた面（箱形やピラミッドではない面）を作るのは魅力を感じます。また、このためにお作りになったというソフトウェアには大変興味があります。
僕もここで、可展面を直線の集合として媒介変数表示して、境界を平面上の曲線に変換することで、一般の立体を可展面に展開するソフトを作ろうと思っていましたが、挫折したままほったらかしになっています。
考え方のヒントでも頂けるとうれしいのですが。
by decafish (2014-11-03 09:28)