ペーパークラフトの数学-2

こないだの続き。

軸に垂直ではない平面

軸に垂直ではない平面で交差する円筒面の境界は楕円になる。
式で書けば、まず円筒面の式は先に書いた

であった。円筒の方を傾けるために、この円筒をx軸の周りにθだけ回転させた式を作ると

となる。これは式-1に

のようなx軸周りの回転の座標変換をほどこせば得られる。式-2のz=0の平面との交線は

となる。これは楕円の式であり、標準形に書き直せば

となって、r/cosθの絶対値はrより大きくなるのでx軸方向が短軸側、y軸方向が長軸側の楕円であることがわかる。


円筒を展開するとこの境界線はいわゆる正弦波になる（これが幾何学的な正弦波の定義である）。

図-3のように一方の境界は軸に垂直な平面で、円筒の軸と、もう一方の平面に垂直な方向のなす角度をθとすると（円筒軸と平面が垂直のときはθ=0）、この展開図形は図-4のような図形になる。図中dは二つの平面間の
円筒軸にそった距離である。正弦波形の振幅Aは

となる（正弦波の山谷の高さの差は2Aである）。

切り取る平面側の境界は図-5のような楕円になる。その長軸側の半径rlと短軸側の半径rsは

である。

円筒は簡単。次は円錐を考える。