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ペーパークラフトの数学-3 [考え中 - ペーパークラフトの数学]

円錐面と平面の境界


次の例として円錐面を考える。

円錐面をその軸に垂直な平面で切り取ればその境界は円になる。高さh、円錐底面の円の半径をrbとすると円錐の頂点からの距離dに平面があった場合、その境界の円の半径rは

となることはすぐにわかる。ここでαは円錐の開き具合を表す数で、大きいと尖った(閉じた)円錐で、小さいと開いた円錐である。αの値の等しい円錐は相似であり、どの高さで切り出してもαの値は変わらない。

これを展開すると、扇型になる。高さdの円錐を展開した扇型の半径Rfは

展開した扇型の頂角φは今のαを使って

と書ける。
それぞれを図-6に示す。

円錐面と傾いた平面との境界


これは2次曲線になることは周知の通りである。
こればかりは式で書かなければわからない。

円錐の式を

と書くことにする。これは(x,y,z)=(0,0,d)を頂点にし、zの正負の両方向に開いて行く円錐で、αは先に定義したものと同じである。この式を円筒でやったことと同じように

のようなx軸周りの回転の座標変換をほどこすと、

となる。このz=0の平面との交線は

となる。

次に、簡単な場合から順に分類してみる。


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