ペーパークラフトの数学-5

これまでで、２次曲面と平面の交線がどうなるか、を考えてきた。もうちょっと一般的にしてみる。

境界の展開の一般形式

これまで円筒や円錐の式を座標の陰関数の方程式の形で表現してきたが、平面への展開を考えるとこの形式は不便である。

可展面を直線の集合で表現する。すなわち媒介変数(p,q)を使い、SとDをひとつの変数qに関して連続な空間ベクトルとして

とする。

図-7のようにSが始点の集合で、Dの方向に伸びる。qを固定してp ∈ Rを変化させると一本の直線が作られ、qを変えるとその直線の始点と向かう方向が変わると考える。これで線織面としての性質は自動的に得られる。

この直線のことを「織線」と呼ぶことにする。

例えばたとえば断面の半径がr0の円筒は

と書ける。また以前に計算した円錐は

と書ける。

可展面と平面との交線は

の解としてp(q)を解くことで得られる。

何のためにこのようなことをするかと言うと、可展面を平面に展開したとき、p(q)をそのまま使って境界線を描きたいからである。つまり平面に展開したとき

として境界を平面曲線として得られるようにするためである。ここでハットつきにしたのは平面に展開された2次元用の関数のつもりであるが、p(q)は同じものが使える。