考え中 - Fourier領域と実領域の光（5）

前回、物質方程式の特徴をざっとおさらいした。今回は光学の問題に限って、Maxwell方程式を変形して電場についてだけの式を導く。

波動方程式の導出

Maxwellの方程式に境界条件、あるいは初期条件を与えて微分方程式を解けば電磁場の値は決まる。

ここで、光学現象の記述のための細工をする。Maxwellの方程式に透明媒質中であるという条件を付ける。

光学現象としての条件

無限の一様で等方な時空間を考えて、まず真電荷はない

とする。もちろん分極電荷はあってもよい、というか、ないわけにはいかないが、Dを使えば分極電荷は方程式に現れない。

もうひとつ、電流は流れない

とする。

電流は電荷の流れなので、電荷がなければ電流もないはずだけどこの条件がなければ電流を残す必要がある。たとえば帯電していない金属は、マクロな電荷はない（もちろん伝導電子はある）が電流は流れる可能性がある。これは古典的な電磁場を扱うときに混乱するもとになりやすい。学生の頃僕は混乱した（なんで電荷がないのに電流があるの？）。

また、一様で等方な空間を考えるのでεとμは場所xにはよらないスカラ量であるとする。

この条件の下でMaxwellの方程式を書き直すと

となる。 このまま学生のときと同じように、波動方程式を導く。ただし、畳み込み積分を残したままにしておく。

波動方程式への変形

まず式-26と27を式-22、23に代入してDとBを消去する。

ここでε、μはtに依存しないとしたので微分と畳み込みの積分を入れ替えた。

式-28のtについて微分して、式-29のrotをとって

式-30のほうにμの畳み込みをして辺々引き算してHに関する項を消すと

ここで

なのと、畳み込み積分は

なので

となる。ここで△はラプラシアン

である。

式-33は波動方程式と呼ばれる。

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