景品を頂いた [考え中 - ペーパークラフトの数学]
円錐の交差 [考え中 - ペーパークラフトの数学]
問題の答えはちょっと遠慮して、回答が出たら一般論を書いてみることにする。今日は円錐の折り返しについて。
ペーパークラフトの数学-5 [考え中 - ペーパークラフトの数学]
これまでで、２次曲面と平面の交線がどうなるか、を考えてきた。もうちょっと一般的にしてみる。
境界の展開の一般形式
これまで円筒や円錐の式を座標の陰関数の方程式の形で表現してきたが、平面への展開を考えるとこの形式は不便である。
可展面を直線の集合で表現する。すなわち媒介変数(p,q)を使い、SとDをひとつの変数qに関して連続な空間ベクトルとして
とする。
図-7のようにSが始点の集合で、Dの方向に伸びる。qを固定してp ∈ Rを変化させると一本の直線が作られ、qを変えるとその直線の始点と向かう方向が変わると考える。これで線織面としての性質は自動的に得られる。
この直線のことを「織線」と呼ぶことにする。
例えばたとえば断面の半径がr0の円筒は
と書ける。また以前に計算した円錐は
と書ける。
可展面と平面との交線は
の解としてp(q)を解くことで得られる。
何のためにこのようなことをするかと言うと、可展面を平面に展開したとき、p(q)をそのまま使って境界線を描きたいからである。つまり平面に展開したとき
として境界を平面曲線として得られるようにするためである。ここでハットつきにしたのは平面に展開された2次元用の関数のつもりであるが、p(q)は同じものが使える。
ペーパークラフトの数学-2 [考え中 - ペーパークラフトの数学]
こないだの続き。
軸に垂直ではない平面
軸に垂直ではない平面で交差する円筒面の境界は楕円になる。
式で書けば、まず円筒面の式は先に書いた
であった。円筒の方を傾けるために、この円筒をx軸の周りにθだけ回転させた式を作ると
となる。これは式-1に
のようなx軸周りの回転の座標変換をほどこせば得られる。式-2のz=0の平面との交線は
となる。これは楕円の式であり、標準形に書き直せば
となって、r/cosθの絶対値はrより大きくなるのでx軸方向が短軸側、y軸方向が長軸側の楕円であることがわかる。
円筒を展開するとこの境界線はいわゆる正弦波になる（これが幾何学的な正弦波の定義である）。
図-3のように一方の境界は軸に垂直な平面で、円筒の軸と、もう一方の平面に垂直な方向のなす角度をθとすると（円筒軸と平面が垂直のときはθ=0）、この展開図形は図-4のような図形になる。図中dは二つの平面間の
円筒軸にそった距離である。正弦波形の振幅Aは
となる（正弦波の山谷の高さの差は2Aである）。
切り取る平面側の境界は図-5のような楕円になる。その長軸側の半径rlと短軸側の半径rsは
である。
円筒は簡単。次は円錐を考える。
ペーパークラフトの数学-1 [考え中 - ペーパークラフトの数学]
息子が昔からペーパークラフトに凝っている。高校2年になった今でも作り続けていてずいぶん大きなものを山のように作っている。
ペーパークラフトは
- 作りたい形状を考える
- それをモデリングする
- 部分に分解して平面に型紙として展開する
- 組み立てて立体にする
- さらに、彩色などをする
と言う作業を行う。2〜3の部分を行うソフトウェアも存在する（ペパクラデザイナー、Lamina Designなど）。
これらのソフトウェアの多くはOpenGLのように立体をポリゴン（あるいは三角形）で近似して、それを平面に展開する、と言う手法をとっている。これは、いわば力づくで型紙に展開する手法である。そうではなく紙の柔軟性を十分に利用し、緩やかに曲げた面とシャープな折りとで構成するにはどうするか、ということを考えたい。数学的には微分幾何の問題と見て、数値計算になるべく頼らず、可能な限り解析的なアプローチをとりたい。そして最終的にはこの手法を具体的に構成したいと思う。
