太さの変わるBezier曲線の生成 - その9

前書いたことに対する微調整。
微係数に関して。

Bezier曲線の微分に関する追加

最初の方でBezier曲線の微分を求めておいた。しかし、曲率をいじっているうちにおかしなことに気がついた。
そのことをちょっとメモしておく。

微分、特に端点での微係数を式-7としたが、この式は端点とその隣の制御点が一致しているときは0/0で意味をもたない。

元の古いノーテーションで、B₁=B₀でB₂≠ B₃の場合、1階の微分は

となる。

始点での微係数はt→0の極限を求めればいい。

このような最初と２番目の制御点が一致するような場合、あるいはその逆（最後と最後から２番目の制御点が一致する場合）には注意が必要である。

ここんとこを注意しても、曲率を式-65に従って計算しようとするとやっぱりうまくいかない。 これはds=√（(dx/dt)^2+(dy/dt)^2）dtがt→0で0になってしまうせいだろうと思ったけどよくわからない。

こういう場合の曲率はどうやって求めればいいのか。tを適当に変数変換してdsが0にならないようにするだけではうまくいかなかった。例えばtを√rに置き換えても曲線は変わらない（r=t²の点は同じ位置を与える。あたりまえ）なのに曲率の値は変わってしまう。どこか間違ってるな。うーん、よくわからん。