曲がった迷路その14 - バイキュービック補間の数学的な意味

バイキュービック補間の係数をを僕なりに考えた。結果的には一般的に使われている係数を再発見することになった。

バイキュービック補間関数

補間のための関数を自分なりに考えることにしたが、なにかアイデアがあるわけではない。 シンク関数のいい近似になるような3次のベキ関数を作ってみる。前にも似たようなことをやった。

条件は

1. 3次関数で補間
2. [0,1)区間ではなるべくシンク関数に近い
3. 区間を超えるところでは連続でかつ、１階微分可能

とする。みっつ目の条件の「区間を超えるところ」とはxの値が整数に近いあたりの、補間元の16点が変わりめでの振る舞いを安定にするためのもので、従って[1,2)区間ではシンク関数との差分は大きくなる。

まず[0,1)区間でまず補間関数を

とする。 こうしておけば

を自動的に満たす。つまり格子点での値とその微係数がシンク関数に一致する3次関数ということである。

ひとつ残った定数c₀を

なるD₀を最小にするように決める。つまり最小2乗法的に係数を決めようと言うことである。 そのためには

を解けばいい。結果は

となる。ほんまかいな、だけどなんてMathematicaは便利なんでしょ。

区間[1,2)に対しては

とすると自動的に決まってしまって、

とするしかない。ここで4つ目の条件はx≥2に対してはずっと0なのでx=2で微係数が繋がるように（0になるように）した、ということ。このせいで区間[1,2)ではシンク関数よりかなりずれるし、x=2での微係数は、シンクが1/2なので全然違う。けどまあしかたがない。局所的な操作はつなぎ目の素性が悪くなりやすいので、微係数には気をつけたほうがいい。

これで区間[0,2]でシンク関数を近似する3次のベキ関数

を作ることができた。 ということで、さっきの式-31と比較するとc₀がちょうど1なら完全に一致する（展開してみればわかる）。式-35とも値は近い。

式-31は整係数ながら[1,2)区間ではまったく同じ、[0,1)区間では非常にいい近似になっていると言うことがわかった。みんなちゃんと考えてるのね。