牛乳パックを少ない水できれいに洗う方法

飲み終わった牛乳パックは洗って開いて干すと、ゴミにならずに再生できるらしい。僕は、そうして溜まるといつも生協の再生ボックスに放りこみに行っている。

牛乳パックを洗うとき、なんとなく2回にわけて洗っているけど、もっと何回もわけた方がいいのか、ほんとうはどういうのがいいのか、とふと思った。計算してみる。

水をN回にわけてすすいで流すを繰り返す。流したあとにはパックの内側の表面に水は残り、その中に牛乳の固形成分は必ず含まれているので完全になくなりはしない（「女王陛下のプディング」の要領）。

洗う前に残っていた牛乳の固形成分の量をM、使う水の総量をL、すすいで1回流したあとに残留する水の量をδとする。N回にわけたときのN回目に使用する水の量をR_N(n)L（R_N(n)は0以上1以下の実数で、N個の合計はちょうど1）として、すすいだとき牛乳の固形成分は完全に水の中に均一に分散する（パック内面にくっついている固形成分はすすぐと一旦離れる）とする。

1回だけすすいで流したとき、残留している固形成分ΔMは

となる。n回にわけたとき最終的なΔMは

となる。これを最小にするR_N(n)を知りたい。

まず、水のわけ方の順番にはよらない、ということが（積は順番を変えても結果は同じ）わかる。
たとえば一回で洗ったとする式-1であるが、2回に分けると

となる。だから

であれば2回にわけた方がいい。
また、

なので、積は

で最大になる（微分すればわかる）。
同様にN回にわけたときの積

の値は

のとき最大になる。つまり水を分けるなら同じ分量にわけた方がいい、ということになる。

N回に当分に分けると

となるから、

なら、N-1回よりもN回にわけた方がいい、ということになる。式-10の左辺をΛ_Nとすると、その具体的な値は

などとなって、N=38でようやく0.01をきる。一方1リットル入り牛乳パックの内側の表面積はだいたい600cm²ぐらいとして、その面に希釈された牛乳が、多めに見積もって厚み1mmに表面張力でのこったとして、使う水の総量をパック一杯分、1リットルとすると

で、この場合式-10を満たすNの最大は61である。
つまり、同じ水1リットルを使うなら牛乳パックは水を61回にわけて、すすいでは流し、を繰り返した方がきれいになる、ということになる。

例えば、牛乳パックを1リットルの水で洗うとき、パックになみなみと水を入れてすすいで流したときと、16cc入れてすすいでは流しを61回繰り返したときとでは、残留する牛乳の固形成分は4×10^-25ぐらいにまで減らすことができる、という計算になる。これは牛乳の固形成分のミセルが直径10nmだとしても、61回繰り返せばミセルはひとつも残らない、という計算になる。ほんまかいな。現実にはありえない、と思うけど61回もやったことないのでわからない。

．．．．また、つまらぬ計算をしてしまった．．．．