楽譜アーカイブアプリ - その23 Bicubicを拡張する

一昨日と昨日で画像の補間によく使われるBicubicとLanczosをおさらいした。どちらも基本の思想はFourier変換から要求されるsinc関数による補間になってるけど、遠い点からの影響を無視するそのやりかたが違っている。

Lanczos補間はどれだけ遠い点を考慮するかをパラメータにできるので、そこには自由度がある。今日は、Bicubicを±2点だけではなく、Lanczosと同じようにそれ以上の任意の点を考慮するように拡張してみる。

8.1.5  Bicubicの拡張

Lanczos関数と同じようにBicubicも、±2よりもさらに外の格子点を考慮するように拡張することができる。Bicubic関数は

• 3次スプラインによるsinc関数の区間近似を行う
• 最後の格子点でだけ微係数を0にする

というものなので外に広げることは簡単である。

kを1 ≤ k ≤ n−1の範囲の整数とする。区間[k,k+1]の間の3次のベキ関数で、端点での値が0になる関数f_k(x)は

の形になる。この関数の端点での微係数は

なのでsinc関数の微係数

に一致するようにすればよい。このまま連立方程式として解くと

となる。

また、区間[0,1]はx=0での値が1で微係数が0なので区間の関数を

とするとx=1で値が0で微係数が−1という条件から

となる。

あと、残り区間[n−1,n]では値が0で微係数が0なので式-8.6を

とすればいい。このようなBicubic拡張関数をB_n(x)と書くと、k > nなるB_k(x)は

である。

これで、近接2n個の点を考慮するBicubic補間の関数ができたことになる。