Bezier曲線によるレンズ形状近似 - その4

前回で計算は終わった。考え方はスプライン補間なんかと同じ、というかスプラインのものまね。

前回の球面をBezier曲線で近似するだけではごく普通なので、今日はこれを非球面に拡張する。でもそれも考え方は全く同じ。

2.3  非球面の場合

非球面でもよっぽど変な、例えばシュミットカメラの補正レンズみたいなのでなければ、見た目のレベルでBezierと区別するのは難しいはずである。ということで、球面と同じ条件でいいだろう。つまり、

• 光軸（始点）での曲率
• 最大高さでの傾き（1次の微係数）
• 最大高さでの2回微分

を一致させるという方針でいく。光軸での曲率は球面と同じで、最大高さの傾きと2回微分が球面とは違ってくる。普通の非球面では開く方向（曲率が中心より周辺のほうが小さい）なので、最大高さでの形状を調整できれば、けっこういい結果になるのではないかと思う。

ということで、球面での議論はそのまま使えて、s′₁とs"₁の値が違ってくるだけになる。

めんどくさいけどそれぞれ計算すると.....

非球面式を2次曲面とベキの項にわけて

とする。微分は

なんかだったので

である。

あとはそれぞれ微分して

となるので、数値的にはq′(1)、q"(1)、p′(1)、p"(1)の値を計算して代入すればいい、ということになる。

これらの値（と非球面式の値s_h）を式-15に代入して球面の場合と同じように計算すれば、非球面の断面形状のBezier曲線の近似ができた、ということになる。

美しくはないけど、話は簡単。要はどれだけ効果的か（見た目がそれらしいか）、ということ。