厳密な光線追跡 - その10

だらだらといろいろなことを書いてきたので、光線追跡の数学のツボとなる式をもう一度まとめておく。

3.5  数学のまとめ

3.5.1  手順

光線追跡は、与えられた光線に対して

• 光線と面とが交差する位置を求める
• その点での面の法線の向きから屈折角を求める
• 屈折後の光線を生成する
• 以上を、残る面に対して追跡できなくなるか、像面に到達するまで続ける

ということを行う。ここでは光線と面を媒介変数表示する。

つまり光線は始点sと進行方向rを持っていて、始点からの延長線上の点pの集合として

と書く。

ここでαは媒介変数で、方向を表すベクトルrは特殊な規格化

がされているとする。ただしここでnは光線が存在する媒質の屈折率である。

また面も同じようにふたつの媒介変数を使って張られた点の集合

と表現する。

3.5.2  光線と面とが交差する位置

光線と面との交点は式-4と式-32とを連立させることで得られる。つまり

をu、v、αについて解けばよい。

計算時にはとうぜん3元の連立方程式としてではなく、まずαを求めてそれを式-48に代入するほうが、無駄な計算をするのを避けられる場合がある。

その解に関して

1. 実数解か
2. α > 0であるか
3. 交点が面の定義域（クリアアパチャ）の内部か

を順次確認して、一つでも成り立たなければ追跡を中止する。u、vの解はこの3.までは必要がない。

また、簡単な場合に対して解を解析的に求めておけば、実行効率はあがるので、以下に解析解が得られる典型的な場合を列挙する。

3.5.3  平面の場合

平面の式を

とすると、式-<48と連立させることで

が得られる。

3.5.4  球面の場合

球面の式を

と書いた場合、平面と同じように

が得られる。

3.5.5  ２次曲面の場合

2次曲面も

と書いた場合、

が得られる。

3.5.6  非球面の場合

非球面式は

と書く。この場合は収束計算が必要になる。収束計算の初期値として第1項は2次曲面なので前節の結果を流用すればいい。

3.5.7  一般の面の場合

面固有の解法を与える必要がある。多くは非球面と同じ収束計算が必要になる。その場合初期値をどう選ぶかは問題で、やはり面固有のアプローチが必要になる。

続きは次回。あとは屈折の式（Snellの法則）と座標変換について。