厳密な光線追跡 - その11

昨日の数学のまとめの続き。まとめはこれでおしまい。

3.5.8  屈折光線

屈折光線の向き（方向ベクトル）r_oは

として計算できる。ただしr_iは入射光線の向きを表すベクトルであり、nは光線と面とが交差する点での面の法線ベクトルで、面が式-50で表されているとすると

である。そして

ni	:	入射光線が含まれている媒質の屈折率
no	:	屈折光線が含まれている媒質の屈折率

である。j_rが負になる場合は、全反射となる。

また、r_iは式-41の規格化がされているとし、法線ベクトルはr_iと同じ方向を向いているとする。つまりr_iと面の同じ側になるように、nの符号をとる。

同じ側かどうかは

で判定できる。この値が正なら同じ側にあり、負ならnをあらためて−nとすればよい。

3.5.9  反射の場合

反射光線の向きr′_i は

で得られる。

3.5.10  一般の姿勢をした面の扱い

以上の具体的な定式化はすべて面が

• 原点を通る
• 原点での法線ベクトルがz軸に平行である

という制限を持っている。一般の面

はこれらの面が次の変換

で与えられているとみなす。ここでTは同次行列で

といいうような変換行列である。この行列は

と見て、小行列Aが

を満たしかつその行列式が正の場合、原点での回転を表す。したがってT全体では

• 原点で回転する
• 原点を(o_x,o_y,o_z)に移動する

ということを表現することになる。

この一般の面に対して光線との交点を求める場合、まず光線を

と変換し、パラメータαの原点にある面との交点での値α_oを求め、その屈折光線p_oを

とすれば、これまでの議論が流用できる。

Tの逆行列はそれが回転と平行移動を表している場合

で簡単に求めることができる。